Угадывание чисел

Это очень сложная головоломка, в которую следует играть вдвоем. При этом соперники должны обладать математическими способностями и определенными знаниями.

Условие

Один из игроков задумывает 10 натуральных чисел: s1, s2, s3, ..., s10. Соперник старается угадать их, задавая определенные вопросы. Разрешается задавать вопросы следующего типа: чему равна сумма b1s1 + b2s2 + ... + b10s10, где b1, b2, ..., b10 – некоторые натуральные числа?

При этом угадать задуманные числа следует не более, чем за 5 вопросов.

Подсказка: первым вопросом следует узнать, что все числа s1, s2, s3, ..., s10 меньше некоторой константы.

Решение

Выяснить, какие числа загадал соперник, вы можете всего за два вопроса. За первый вопрос следует узнать значение выражения s1 + s2 + s3 + ... + s10.

Предположим, что оно равно m. Возьмем достаточно большое число n, такое, что 10n > m. Задав второй вопрос, нужно узнать значение выражения s1 + 10ns2 + 102ns3 + ... + 109ns10.

Если значение этого выражения равно r, то в десятичной записи числа r справа налево будут идти группы из n-цифр, дающие десятичные записи чисел s1, s2, s3, ..., s10, возможно с несколькими нулями впереди (поскольку s1, s2, s3, ..., s10 < 10n, при сложении чисел s1, 10ns2, 102ns3, ..., 109ns10 в столбик переносов не возникает).